• Document: M. Abate F. Tovena. Curve e superfici
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Curve e superfici M. Abate F. Tovena Curve e superfici 13 MARCO ABATE Dipartimento di Matematica Università di Pisa, Pisa abate@dm.unipi.it FRANCESCA TOVENA Dipartimento di Matematica Università Tor Vergata, Roma tovena@mat.uniroma2.it In copertina: Modello geometrico ispirato a “Tetroid with 24 Heptagons” di Carlo H. Sequin ISBN 10 88-470-0535-3 Springer Milan Berlin Heidelberg New York ISBN 13 978-88-470-0535-8 Springer Milan Berlin Heidelberg New York Springer-Verlag fa parte di Springer Science+Business Media springer.com © Springer-Verlag Italia, Milano 2006 Quest’opera è protetta dalla legge sul diritto d’autore. Tutti i diritti, in particolare quelli relativi alla tradu- zione, alla ristampa, all’uso di figure e tabelle, alla citazione orale, alla trasmissione radiofonica o televisiva, alla riproduzione su microfilm o in database, alla diversa riproduzione in qualsiasi altra forma (stampa o elettronica) rimangono riservati anche nel caso di utilizzo parziale. Una riproduzione di quest’opera, oppu- re di parte di questa, è anche nel caso specifico solo ammessa nei limiti stabiliti dalla legge sul diritto d’au- tore, ed è soggetta all’autorizzazione dell’Editore. La violazione delle norme comporta sanzioni previste dalla legge. L’utilizzo di denominazioni generiche, nomi commerciali, marchi registrati, ecc., in quest’opera, anche in assenza di particolare indicazione, non consente di considerare tali denominazioni o marchi liberamente utilizzabili da chiunque ai sensi della legge sul marchio. Impianti forniti dagli autori Progetto grafico della copertina: Simona Colombo, Milano Stampa: Signum, Bollate (Mi) Stampato in Italia Prefazione Questo libro è la storia di un successo. La geometria euclidea classica ha sempre avuto un grosso punto debole (di cui i geometri greci erano ben coscienti): non è in grado di studiare in maniera soddisfacente curve e superfici che non siano rette e piani. L’unica eccezione rilevante sono le coniche. Ma è un’eccezione che conferma la regola: le coniche sono viste come intersezione di un cono (insieme costituito dall’unione di rette per un punto che formano un angolo costante con una retta data) con un piano, per cui sono direttamente riconducibili alla geometria lineare di rette e piani. La teoria delle sezioni coniche è giustamente considerata uno dei punti più alti della geometria classica; al di là, il buio. Qualche curva speciale, un paio di superfici assolutamente particolari; ma di una teoria generale neanche l’ombra. Il punto è che i geometri classici non avevano il linguaggio necessario per parlare di curve o superfici in generale. La geometria euclidea è basata as- siomaticamente su punti, rette e piani; qualunque cosa dev’essere descritta in quei termini, e curve e superfici in generale non si prestano a essere presentate con quel vocabolario. Tutto ciò era molto frustrante; basta guardarsi intorno per vedere che il mondo è pieno di curve e superfici, mentre rette e piani sono soltanto una costruzione tipicamente umana. Escono i greci e gli egiziani, passano i secoli, gli arabi iniziano a guardarsi intorno, gli algebristi italiani sfondano la barriera delle equazioni di terzo e quarto grado, entra Cartesio e scopre le coordinate cartesiane. Siamo agli ini- zi del 1600, più di un millennio dopo gli ultimi fuochi della geometria greca; finalmente sono disponibili strumenti molto flessibili per descrivere curve e su- perfici: come immagine o come luoghi di zeri di funzioni espresse in coordinate cartesiane. Il bestiario di curve e superfici speciali si amplia enormemente, e diventa chiaro che il problema principale della teoria in questo momento sto- rico consiste nel riuscire a definire precisamente (e misurare) cosa distingue curve e superfici da rette e piani. Cosa vuol dire che una curva è curva (o che una superficie è curva, se ci permetti il gioco di parole)? E come si misura quanto una curva o una superficie è curva? VI Prefazione Rispetto al millennio passato, è sufficiente aspettare ben poco per avere risposte soddisfacenti a queste domande. Nella seconda metà del 1600 Newton e Leibniz scoprono il calcolo differenziale e integrale, e cambiano la faccia della matematica (e del mondo, aprendo la strada alla rivoluzione industriale). Il calcolo di Newton e Leibniz fornisce strumenti efficaci per studiare, misurare e predire il comportamento di oggetti in movimento. Il percorso tracciato da un punto in movimento nel piano o nello spazio è una curva. Il punto traccia una retta se e solo se la sua velocità non cambia direzione; il suo tracciato è tanto più curvo tanto più la direzione della sua velocità varia. Quindi è naturale misurare quanto il percorso è curvo misurando la variazione della direzione della velocità; e il calcolo differenziale è nato proprio per misurare variazioni. Voilà, abbiamo una definizione efficace e computabile di curvatura di una curva: la lunghezza del vettore accelerazione (se la curva è p

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