• Document: ELEMENTS DE LA THEORIE DES GROUPES.
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ELEMENTS DE LA THEORIE DES GROUPES. Licence de Mathématiques Université d’Angers 1997/98 D. Schaub 2 Table des matières 1 GENERALITES 5 1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Relations d’équivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Théorème de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Sous-groupes distingués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.6 Homomorphismes, isomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6.1 Homomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6.2 Image, noyau d’un homomorphisme de groupes . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.7 Groupes cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.7.1 Sous-groupe engendré par un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.7.2 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.8 Groupes définis par générateurs et relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.9 Produit de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 GROUPES COMMUTATIFS 17 2.1 Modules sur un anneau principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Décomposition en modules monogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Décomposition en modules primaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.4 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 THEOREMES DE SYLOW 25 3.1 Opération d’un groupe sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.1.2 Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.1.3 Produit semi-direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Théorèmes de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2.1 Résultats préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2.2 Les théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4 Appendice : SUITES EXACTES 33 5 GROUPES ET GEOMETRIE 37 5.1 Le groupe orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.1.1 Les groupes O(E)

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