• Document: Cálculo infinitesimal de varias variables reales Volumen 1
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Cálculo infinitesimal de varias variables reales Volumen 1 José Marı́a Rocha Martı́nez Gabriel D. Villa Salvador Departamento de Departamento de Matemáticas Control Automático Escuela Superior de Fı́sica Centro de Investigación y Matemáticas y de Estudios Avanzados del I.P.N. del I.P.N. Contenido Contenido ii Prefacio iii 1 El espacio Rn . 1 1.1 Rn como espacio euclideano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Propiedades de la norma y del producto interno. . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Normas y métricas en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Topologı́a de Rn . 15 2.1 Conjuntos abiertos y cerrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Sucesiones en Rk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 Conjuntos compactos y conexos 35 3.1 Conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2 Topologı́a relativa y conjuntos conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4 Funciones en Rn 53 4.1 Lı́mites de funciones y funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5 Derivadas 75 5.1 Resultados fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.2 Derivadas parciales y representación matricial . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6 Teorema de Taylor 111 6.1 Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6.2 El Teorema de Taylor y sus aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 6.3 Máximos y mı́nimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 ii Contenido 6.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 7 Funciones inversas e implı́citas 145 7.1 Teorema de la Función Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 7.2 Teorema de la Función Implı́cita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 7.3 Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 7.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 A Desigualdad de Minkowski 175 Bibliografı́a 179 Prefacio El cálculo infinitesimal de varias variables reales es un tema de particular relevancia en las áreas de ingenierı́a y de ciencias fı́sico–matemáticas. El presente volumen trata sobre el cálculo diferencial de varias variables reales. Hay muchas formas de presentar el material aquı́ tratado. Nosotros elegimos un punto de vista teórico, aunque sin descuidar ejemplos que ilustren nuestros resultados. Debido a lo anterior, la aproximación al cálculo integral aquı́ presentada hace adecuado este texto para los estudiantes del segundo ó tercer año de licenciatura

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