• Document: Exercices corrigés de probabilités et statistique
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Exercices corrigés de probabilités et statistique Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne Cours de deuxième année de licence de sciences économiques Fabrice Rossi Cette œuvre est mise à disposition selon les termes de la licence Creative Commons Paternité - Partage à l’Identique 3.0 non transposé. Table des matières Table des matières iii 1 Dénombrement et équiprobabilité 1 2 Conditionnement et indépendance 9 3 Variables aléatoires discrètes 17 4 Lois discrètes classiques 21 5 Lois continues classiques 27 6 Variable fonction d’une autre variable 33 7 Couples de variables aléatoires 39 Évolutions de ce document 47 iii Introduction Ce document propose des exercices corrigés illustrant le cours de probabilités et statistique. Les corrections sont abondamment commentées pour faciliter la compréhension et expliciter le raisonnement qui conduit à la bonne solution. On trouve ainsi à la suite de l’énoncé d’un exercice une série de commentaires encadrant des éléments de correction. La réponse attendue lors d’une évaluation est constituée de l’ensemble des éléments de correction, à l’exclusion, bien entendu, des commentaires. v Chapitre 1 Dénombrement et équiprobabilité Exercice 1.1 Énoncé On place dans un sac 5 billets de 5 e, 7 billets de 10 e et 10 billets de 20 e. On choisit au hasard une poignée de 8 billets, chaque billet ayant la même probabilité d’être attrapé. 1. Quelle est la probabilité de n’avoir choisi aucun billet de 5 e ? 2. Quelle est la probabilité d’avoir obtenu uniquement des billets de 20 e ? 3. Quelle est la probabilité d’avoir obtenu au moins un billet de chaque valeur ? 4. On recommence l’expérience en tirant les billets un par un et en remettant le billet dans le sac après son tirage. Calculer les probabilités des trois évènements ci-dessus dans cette nouvelle expérience. Comme dans tout exercice de probabilité qui ne fait pas intervenir de variables aléatoires, on doit commencer la résolution par la définition de l’univers Ω associé à l’expérience. On rencontre ici une difficulté classique : les billets d’une catégorie ne sont pas (facilement) discernables. On pourrait donc être tenté de tenir compte de ce fait dans Ω : c’est en général une mauvaise idée. On suppose donc les billets discernables (numérotés, par exemple). Correction On suppose les billets discernables. On appelle c1 , . . . , c5 les 5 billets de 5 e, d1 , . . . , d7 les 7 billets de 10 e et v1 , . . . , v10 les 10 billets de 20 e. On note l’ensemble des billets B, avec B = {c1 , . . . , c5 , d1 , . . . , d7 , v1 , . . . , v10 } . 1 2 CHAPITRE 1. DÉNOMBREMENT ET ÉQUIPROBABILITÉ L’univers de l’expérience aléatoire, Ω, est constitué de tous les ensembles de 8 billets distincts, soit donc Ω = {{b1 , . . . , b8 } | ∀i, bi ∈ B et ∀j 6= i, bi 6= bj } . La définition de l’univers est ici très formelle. On peut se contenter d’une définition plus informelle, à condition de bien faire ressortir dans celle-ci deux éléments cruciaux de l’énoncé : le nombre d’éléments choisis (ici 8) et la nature du tirage. Ici, on indique qu’on tire une poignée de billets, ce qui implique qu’il n’y a pas de remise et qu’il n’y a pas d’ordre. Ceci est traduit mathématiquement par le fait qu’on considère un ensemble de billets (et pas une liste) et que les billets sont distincts. Ces deux mots clé (ensemble et distinct) doivent impérativement apparaître dans la réponse. Il faut aussi faire apparaître l’ensemble des objets dans lequel les sous-ensembles sont choisis (ici, B). Il faut maintenant définir la probabilité sur Ω. Comme dans de nombreuses situations, on fait une hypothèse naturelle d’équiprobabilité, ce qui transforme le calcul d’une probabilité en celui de la taille d’un ensemble. Correction Les billets étant équiprobables, on suppose que la probabilité est uniforme que Ω et donc que pour tout évènement A, sa probabilité P(A) est donnée par |A| P(A) = . |Ω| 8 car il s’agit de l’ensemble des sous-ensembles On sait que |Ω| est donné par C22 de cardinal 8 de l’ensemble B qui est lui même de cardinal 22. Notons qu’il est important de justifier brièvement le choix de la probabilité uniforme (comme c’est fait ici) et de rappeler le mode de calcul des probabilités dans cette situation

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