• Document: FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA. Cursos de Engenharia. Prof. Álvaro Fernandes Serafim
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FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA Cursos de Engenharia Prof. Álvaro Fernandes Serafim Última atualização: 01/12/2007. Esta apostila de Álgebra Linear foi elaborada pela Professora Ilka Rebouças Freire. A formatação e a adaptação são do Professor Álvaro Fernandes Serafim. Temas desta apostila: • Transformação linear - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - pág. 1 • Imagem de uma transformação linear - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - pág. 10 • Núcleo de uma transformação linear - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - pág. 13 • Matriz associada a uma transformação linear - - - - - - - - - - - - - - - pág. 17 • Autovalores e autovetores de uma transformação linear - - - - - - - - pág. 21 • Exercícios gerais - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - pág. 28 Transformação linear Até agora só trabalhamos com funções reais de uma variável real, ou seja, funções cujos domínios e imagens são subconjuntos de R. Por exemplo: f(x) = 2x + 1; f(x) = x2; f(x) = ex, etc. Vamos agora tratar de funções que têm como domínio e contradomínio outros espaços vetoriais como R2, R3, M2(R), etc . Assim, tanto a variável independente quanto a variável dependente serão vetores, razão pela qual, funções deste tipo são também chamadas de funções vetoriais. Vamos estudar uma classe especial de funções definidas entre espaços vetoriais que são aquelas que preservam as operações de adição e a multiplicação por um escalar. Enfatizaremos as transformações lineares de Rn em Rm. Tais transformações têm importância fundamental no estudo da Álgebra Linear e muitas aplicações na Física e nas Engenharias. Para dizer que T é uma transformação (ou função) de um espaço vetorial V num espaço vetorial W, escrevemos T: V → W. Sendo T uma função, todo vetor v ∈ V está associado a um único vetor imagem w ∈ W, tal que w = T(v). Exemplos: 1) T: R2 → R3 T(x, y) = (x, y, x + y). Exemplos de algumas imagens: T(1, 2) = (1, 2, 3); T(0, 1) = (0, 1, 1). 2) T : R3 → R3 T(x, y, z) = (x, y, 0). Esta transformação é chamada de projeção ortogonal do R3 sobre o plano XY, pois ela transforma um vetor qualquer do R3 na sua projeção sobre o plano XY. 1 Definição de transformação linear Sejam V e W dois espaços vetoriais sobre R. Uma transformação linear T: V → W é uma aplicação (função) que satisfaz as seguintes condições: i) T(u + v) = T(u) + T(v), ∀u, v ∈ V. ii) T(λu) = λT(u), ∀u ∈ V e ∀λ ∈ R. Observações: 1) No caso em que V = W uma transformação linear T: V → V é também chamada de operador linear. 2) A definição nos diz em palavras que se T é uma transformação linear então a imagem da soma é a soma das imagens e a imagem de um vetor multiplicado por um escalar é igual ao escalar multiplicado pela imagem do vetor. 3) As condições i) e ii) da definição são equivalentes a T(u + λv) = T(u) + λT(v). Isto significa dizer que para verificarmos se uma transformação é linear, podemos verificar apenas esta condição. Exemplos: 1) A transformação T: R → R, tal que T(x) = 2x é linear. De fato: i) T(x + y) = 2(x + y) = 2x + 2y = T(x) + T(y). ii) T(λx) = 2(λx) = λ(2x) = λT(x). 2) A transformação T: R → R, tal que T(x) = αx, α constante real, é linear. Este caso é uma generalização do anterior. As transformações acima têm como gráfico uma reta passando pela origem e motivaram a definição de transformação linear. Pode-se mostrar que toda transformação linear de R em R é do tipo descrito acima. 2 3) A transformação T: R2 → R, tal que T(x, y) = x + y é linear. De fato: i) T( (x1, y1) + (x2, y2) ) = T(x1 + x2, y1 + y2) = x1 + x2 + y1 + y2 = (x1 + y1) + (x2 + y2 ) = = T( (x1, y1) ) + T( (x2, y2) ). ii ) T( λ(x1, y1) ) = T( (λx1, λy1) ) = λx1 + λy1 = λ(x1 + y1) = λT(x1, y1). 4) A transformação T: R2 → R, tal que T(x, y) = x + y + 1 não é linear. De fato, a condição i) falha: i) T( (x1, y1) + (x2, y2) ) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (x1 + x2) + (y1 + y2) + 1 ≠ T(x1, y1) + T(x2 + y2 ) = = (x1 + y1 + 1) + (x2 + y2 + 1) = (x1 + x2) + (y1 + y2) + 2. Não é necessário verificar a segunda condição, visto que a primeira condição falhou. De outra forma, poderíamos mostrar, com um exemplo numérico, que esta transformação não é linear. Por exemplo, T(1, 1) = 3 e T(2, 2) = 5. Logo, T( 2(1, 1) ) ≠ 2 T(1, 1), isto é 5 ≠ 6. 5) A transformação T: R2 → R2, tal que T(x, y) = (x2, y) não é linear. De fato, a condição i) falha: i) T( (x1,

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