Result

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Deák Sándor Matematikus MSc Csomók topológikus génuszára vonatkozó becslések Szakdolgozat Témavezető: Stipsicz András Belső konzulens: Szűcs András Budapest, 2016 1 Köszönetnyilvánítás Szeretnék köszönetet mondani témavezetőmnek, Stipsicz Andrásnak az értékes, hasznos konzultációkért, amelyek felkeltették az érdeklődésem a téma iránt, és nagyban segítették an- nak átfogó megismerését. Továbbá köszönettel tartozom Szűcs Andrásnak, akinek az óráin elsa- játíthattam az alapvető topológiai szemléletmódot, fogalmakat és módszereket. 2 Tartalomjegyzék Bevezetés 4 1. Alapfogalmak 6 2. Freedman tétele 14 3. Csomók triviális Alexander polinommal 17 4. Az algebrai és a topológikus génusz kapcsolata 21 5. Fox-Milnor feltétel 22 6. Tórusz csomók lineáris kombinációja 26 7. Alexander ideál, Fox kalkulus 29 8. Függelék (Felületek homológiái) 33 Hivatkozások 36 3 Bevezetés Jelen dolgozatban a csomók alapvető topológiai jellemzőit, és az ezekkel kapcsolatos ered- ményeket tekintjük át, nagy hangsúlyt fektetve a különböző génuszokra, illetve az ezek között fennálló kapcsolatokra. Szemléletesen, csomónak nevezünk egy hurkot a 3-dimenziós Euklideszi térben. A csomóelmélet azt vizsgálja, hogy két csomó milyen feltételek mellett ekvivalens, azaz mikor deformálhatók át egymásba a 3-dimenziós térben folytonosan, önmetszés nélkül. Mint a topológia más területén, a csomóelméletben is a cél olyan invariánsok megtalálása, amelyek viszonylag könnyen számolhatók, ekvivalens csomókra azonos, különböző csomókra pedig lehe- tőleg különböző értéket adnak. A dolgozat írásakor még nem áll rendelkezésre olyan könnyen számolható invariáns, amely egy-egy értelmű megfeleltetést biztosítana a csomók ekvivalencia- osztályai, és valamilyen más matematikai struktúra elemei között. A csomóinvariánsok tehát olyan függvények, amelyek a csomók ekvivalenciaosztályáról va- lamely H halmazba képeznek. Ez a H halmaz a génuszok esetén N, a szignatúra esetén Z, de sok esetben bonyolultabb struktúrája is lehet, például a csomóhoz rendelt Alexander polinom esetén Z[t, t−1 ], a csomók csoportjai kiszámításánál pedig csoportokat rendelünk az ekvivalenciaosztá- lyokhoz. A közelmúltban felfedezett upszilon invariáns ([9]) pedig egy [0,2] intervallumon értel- mezett folytonos, valós értékű, szakaszonként lineáris függvényt rendel a csomókhoz. Konkrét esetekben a csomóinvariánsok számolása eltérő bonyolultságú, így a bonyolultabb invariánsok számolását nagy mértékben segíti az invariánsok közti becslések felfedezése. Például tórusz cso- mók Alexander polinomja a Fox kalkulus segítségével könnyen számolható, a 3-génusz viszont közvetlenül jóval nehezebben, mivel azonban ismert, hogy az Alexander polinom foka alulról becsli a 3-génuszt, így a tórusz csomók 3-génusza is könnyebben számolható. Ismert, hogy a fen- ti becslés megfordítása nem igaz, azaz az Alexander polinom foka lehet kisebb, mint a 3-génusz, viszont a 3-génusz helyett a topológikus génuszt írva már igaz lesz az egyenlőtlenség, azaz a to- pológikus génusz alulról becsli az Alexander polinom fokát. Sőt, ennél egy erősebb állítás is igaz, nevezetes az, hogy a topológikus génusz alulról becsli az algebrai génuszt (amely pedig alulról becsli az Alexander polinom fokát). A dolgozat fő célja ennek a becslésnek a bizonyítása, vagyis hogy tetszőleges K csomó esetén gt (K) ≤ ga (K), ahol gt a topológikus, ga pedig az algebrai génuszt jelöli. A bizonyítás két lépésben történik, először [5] alapján bebizonyítjuk, hogy triviális (azaz konstans 1) Alexander polinommal rendel- kező csomók topológikus génusza 0. A bizonyítás kulcslépése Freedmann beágyazási tételének alkalmazása, amely kimondja, hogy egy 4-dimenziós peremes sokaságba immertált körlapok bizonyos feltételek teljesülése esetén a peremen kötött reguláris homotópiával diszjunkt, topo- lógikusan lapos beágyazásokba vihetők át. Freedman tétele alkalmazásával az adott K csomó egy Seifert felületének fogantyúi megfelelő műtéttel eltávolíthatók, így létrehozható egy olyan D4 -be ágyazott topológikusan lapos körlap, amely pereme K, így kapjuk, hogy gt (K) = 0. A bi- zonyítás második lép