• Document: 2. Разностные схемы Разностные схемы
  • Size: 139.99 KB
  • Uploaded: 2018-12-05 18:01:56
  • Status: Successfully converted


Some snippets from your converted document:

§2. Разностные схемы 1 §2. Разностные схемы В качестве численных алгоритмов решения уравнений в частных производных наиболее часто используют метод сеток (разностные схемы). Его математический смысл чрезвычайно прост. Суть метода заключается в покрытии расчетной области (x,t) сеткой из NxM точек (см. рис. 3 и 4 ниже), что определит шаги по времени и пространству τ и Δ соответственно. Тем самым определяются узлы, в которых будет осуществляться поиск решения. Затем надо заменить дифференциальные уравнения в частных производных (в нашем примере – уравнение диффузии) аппроксимирующими их уравнениями в конечных разностях, выписав соответствующие разностные уравнения для каждого (i,n)-го узла сетки. В случае уравнения теплопроводности достаточно просто заменить первую производную по времени и вторую по пространству их разностными аналогами (такой способ дискретизации называется методом Эйлера). Полученную систему разностных уравнений называют разностной схемой. Поскольку уравнения в частных производных, по определению, зависят от производных неизвестных функций по нескольким переменным, то вариантов дискретизации этих уравнений может быть довольно много. Конфигурацию узлов, используемую для разностной записи уравнений в частных производных на сетке, называют шаблоном. Корректное построение разностной схемы обязательно подразумевает одинаковое число уравнений и неизвестных (т.е. значений искомой функции в узлах сетки). В этом случае можно надеяться, что решение системы разностных уравнений (или, как говорят, реализация разностной схемы) существует. В то же время, рассчитывать на единственность решения системы разностных уравнений (в случае нелинейного уравнения в частных производных) не приходится. Следует стремиться к тому, чтобы численным методом было найдено именно то 2 §2. Разностные схемы «правильное» решение, которое и соответствует исходному уравнению в частных производных, а не другие «паразитные» (часто нефизичные) решения. Таким образом, вместо поиска непрерывных зависимостей u(x,t) реализация разностной схемы позволяет отыскать значения функции в узлах сетки. Ее поведение в промежутках между узлами может быть получено при помощи построения какой-либо интерполяции. Как уже отмечалось, численное решение сеточных уравнений (даже с учетом интерполяции между узлами) отличается от точного решения исходной задачи. По этой причине полученное дискретное представление функции u часто называют сеточной функцией. При построении разностных схем практически всегда исследователь имеет определенный выбор в конкретном способе аппроксимации и производных, в частности, для какого интервала записывать разностное представление производных. Для примера запишем две разные схемы – одну для

Recently converted files (publicly available):