• Document: 2009 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS RELATÓRIO DE UNIDADE CURRICULAR FELIZ MANUEL BA...
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E QUAÇÕES D IFERENCIAIS O RDINÁRIAS Relatório sobre a Unidade Curricular Feliz Manuel Barrão Minhós Julho/2009 E QUA Ç Õ E S DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS RELATÓRIO DE UNIDADE CURRICULAR FELIZ MANUEL BARRÃO MINHÓS JULHO/2009 ii Índice Prefácio v Introdução e metodologia 1 Avaliação 5 1 EDO: generalidades e pré-requisitos 7 1.1 Definições e generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Equações exactas e factores integrantes . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Equações elementares de 1a ordem . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.1 Equação de variáveis separáveis . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.2 Equação homogénea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.3 Equação homográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.4 Equação linear de 1a ordem . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.5 Equação de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.3.6 Equação de Ricati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4 Equações lineares de 2a ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.4.1 Redução de ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4.2 Solução particular da equação não homogénea . . . . . 23 1.4.3 Equação homogénea com coeficientes constantes . . . 24 1.5 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.6 Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 Existência e Unicidade de Solução 33 2.1 Desigualdades e convergências . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2 Método das aproximações sucessivas de Picard . . . . . . . . 39 2.3 Existência e prolongamento de soluções . . . . . . . . . . . . 45 2.4 Teoremas de Unicidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.5 Inequações diferenciais e soluções extremais . . . . . . . . . . 55 2.6 Dependência contínua dos dados iniciais . . . . . . . . . . . . 60 iii iv ÍNDICE 2.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.8 Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3 Sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias 73 3.1 Existência e unicidade de solução para sistemas . . . . . . . . 74 3.2 Sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.3 Sistemas com coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . 89 3.4 Sistemas periódicos lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 3.5 Comportamento assimptótico das soluções . . . . . . . . . . . 96 3.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 3.7 Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 4 Estabilidade de Soluções 117 4.1 Conceitos preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.2 Estabilidade de sistemas quasi-lineares . . . . . . . . . . . . . 123 4.3 Sistemas autónomos planares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.4 Ciclos limite e soluções periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4.5 Método de Lyapunov para sistemas autónomos . . . . . . . . 142 4.6 Método de Lyapunov em sistemas não autónomos . . . . . . . 147 4.7 Equações oscilatórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 4.9 Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 5 Problemas com Valores na Fronteira 165 5.1 Problemas lineares com valores na fronteira . . . . . . . . .

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