• Document: Aufgabensammlung Klasse 8
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Aufgabensammlung Klasse 8 Inhaltsverzeichnis 1 Potenzen mit natürlichen Hochzahlen 3 1.1 Rechenregeln für das Rechnen mit Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Addition und Subtraktion von Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Multiplikation und Division von Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Potenzen potenzieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 Termumformungen 5 2.1 Multiplikation von algebraischen Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Binomische Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2.1 Übungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3 Probearbeit 1 Klasse 8 8 4 Probearbeit 2 Klasse 8 9 1 POTENZEN MIT NATÜRLICHEN HOCHZAHLEN 1 Potenzen mit natürlichen Hochzahlen Merke: Ein Ausdruck der Form an (a ∈ Q, n ∈ N) heißt Potenz mit der Basis a und dem Exponent n. a◦ n bedeutet das Produkt aus n gleichen Faktoren a. an = a · a · a · a · ..... · a | {z } n Faktoren Es gilt a0 = 1 1.1 Rechenregeln für das Rechnen mit Potenzen 1.1.1 Addition und Subtraktion von Potenzen Merke: 1. Man kann nur gleiche Potenzen addieren und subtrahieren! Eine Zahl die als Faktor bei einer Potenz steht heißt Koeffizient der Potenz. 2. Gleiche Potenzen werden addiert(subtrahiert) indem man ihre Koeffizienten ad- diert(subtrahiert) und die Potenz beibehält Beispiel 1 3a2 + 4a2 = (3 + 4)a2 = 7a2 5a3 − 2a3 = (5 − 2)a3 = 3a3 1.1.2 Multiplikation und Division von Potenzen Merke: 1. Sind weder Basis noch Exponent zweier Potenzen gleich, dann läßt sich das Produkt oder der Quotient aus beiden nicht weiter vereinfachen. Merke: Haben beide Potenzen die gleiche Basis dann gelten folgende Regeln: 1. Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert indem man ihre Exponenten addiert und die Basis beibehält. an · am = an+m 2. Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert indem man die Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält. an : am = an−m www.mathekurve.de 3 1 POTENZEN MIT NATÜRLICHEN HOCHZAHLEN Beispiel 2 42 · 43 = 45 63 : 61 = 62 Merke: Haben beide Potenzen den gleichen Exponenten gelten folgende Regeln: 1. Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert indem man das Produkt der Basen mit dem gleichen Exponenten potenziert. an · bn = (a · b)n 2. Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert indem man den Quotienten der an Basen mit dem gleichen Exponenten potenziert. bn = ( ba )n Beispiel 3 32 · 52 = 152 103 : 53 = 23 1.1.3 Potenzen potenzieren Merke: Potenzen werden potenziert indem man ihre Exponenten multipliziert. (an )m = an·m Beispiel 4 3 (a2 ) = a6 3 (104 ) = 1012 www.mathekurve.de 4 2 TERMUMFORMUNGEN 2 Termumformungen Merke: Sinnvolle mathematische Gebilde aus Zahlen, Variablen, Klammern, Rechenzeichen und Funktionszeichen heissen Terme. Bemerkung 2.0.1 Terme sind dem Wesen nach eine Zahl. Sie enthalten keine Zeichen der Form =, <, >. Man unterscheidet verschiedene Termarten wie Summe, Differenz, Produkt, Quotient, Bruch, Potenz etc. 2.1 Multiplikation von algebraischen Summen Merke: Algebraische Summen werden miteinander multipliziert, indem man jedes Glied der einen algebraischen Summe mit jedem Glied der anderen algebraischen Summe multipliziert und zwischen die entstehenden Produkte das richtige Rechenzeichen setzt. Beispiel 5 (a + 2) ∗ (3 − b) = 3a − ab + 2 ∗ 3 − 2b = 3a − ab + 6 − 2b Aufgabe 2.1 Multipliziere aus und fasse zusammen: a) (8x − 8y − 1)(x + 2y + 1) b) (7 − 9x)(4 − 6y) c) (x + 1)(x + 2)(x + 3) Folgende spezielle algebraische Summen sind sehr nützlich im weiteren Verlauf der Schulma- thematik. www.mathekurve.de 5 2 TERMUMFORMUNGEN 2.2 Binomische Formeln Merke: 1. Binomische Formel: (a + b)2 = (a + b) ∗ (a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 In Worten: Quadrat des 1. Terms plus doppeltes Produkt beider Terme plus Quadrat des 2. Terms. Merke: 2. Binomische Formel: (a − b)2 = (a − b) ∗ (a − b) = a2 − ab − ab + b2 = a2 − 2ab + b2 Merke: 3. Binomische Formel: (a + b) ∗ (a − b) = a2 + ab − ab − b2 = a2 − b2 2.2.1 Übungen Aufgabe 2.2 Berechne mit der 1. binomischen Formel a) (x + 5)2

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