• Document: Pengantar. Pengantar Analisis Fungsional
  • Size: 1.07 MB
  • Uploaded: 2019-03-24 09:53:32
  • Status: Successfully converted


Some snippets from your converted document:

Pengantar Analisis Fungsional Pengantar Diktat atau Hand-out AnalisisFungsional ini ditulis atas inisatif jurusan dengan harapan agar mahasiswa lebih mudah memahami materi-materi perkuliahaan yang diadakan/diselenggarakan oleh jurusan. Muatan diktat ini disesuaikan dengan silabus yang telah disusun oleh jurusan. Ka- rena Analisis Fungsional merupakan ramuaan antara Ruang Metrik dan Aljabar Linear dan kerap kali waktu perkulihan Ruang Metrik bersamaan dengan waktu perkulihan Analisis Fungsional, maka sebagai awal perkulihan dimulai dengan BAB 1, Ruang Metrik, yang memberikan dengan singkat pengertian-pengertian dasar Ruang Metrik terutama yang akan diperlukan untuk pem- bahasan materi-materi selanutnya. Bab 2, Ruang bernorma, memuat pengertian dasar dan sifat- sifat ruang Banach, fungsi dan fungsioal linear kontinu, dan ruang lp. Bab 3, Ruang Hilbert. Di dalam bab ini, selain selain membahas sifat-sifat dasar dibahas pula basis ortonormal dan kom plemen ortogonal. Bab 4, Operator dan operator pendamping, memuat pembahasan ( fungsi linear dan kontinu ), Teorema Riesz-Frechet dan operator pendamping ( adjoint operator ). Bab 5, Operator pada ruang Hilbert dan nilai sejati, memuat bahasan tentang operator-operator khu- sus, vektor sejati, dan nilai sejati. Sengaja, tidak semua teorema-teorema yang sederhana di dalam diktat/hand-out ini dibuktikan, dimaksud untuk latihan mahasiswa. Soal-soal/latihan pun tak diberikan. Soal dan latihan akan diberikan bersama dengan perkuliahan. Penyusun : Soeparna Darmawijaya 0 BAB 1 RUANG METRIK Materi dasar untuk mempelajari/memahami Analisis Fungsional adalah Ruang Vektor dan Ruang Metrik. Oleh karena itu, bab pertama ini menyajikan sepintas lalu mengenai materi-materi pokok Ruang Metrik untuk mngingat kembali bagi mahasiswa yang telah mengambil Analisis Real II dan untuk modal dasar bagi mahasiswa yang belum mengambil matakuliah itu. Oleh karena itu teorema-te- rema di dalam bab ini sebagian besar tanpa bukti. Sebenarnya ruang metrik merupakaan abstraksi ruang Rn. Tepatnya, jika dike- tahui himpunan X ≠ ∅ , padanya didefinisikan jarak ( metric ). Jadi definisi ru- ang metrik sebagai berikut. 1.1 Definisi dan sifat-sifat dasar Untuk selanjtnya, R menotasikan system bilangan real dan C meno- tasika system bilangan komplex. Khusunya, perlu diingat bahwa R dan C merupakan lapangan ( field ). Definisi 1.1.1 ; Diketahui himpunan X ≠ ∅. Fungsi d : X x X → R yang memenuhi syarat-syarat : (i) d(x,y) ≥ 0 untuk setiap x, y 𝜖 𝑋, d(x,y) = 0 jika dan hanya jika x = y, (ii) d(x,y) = d(y,x), dan (iii) d(x,y) = d(y,z) + d(y,z) untuk setiap x, y, z 𝜖 𝑋. disebut metrik ( metric ) atau jarak pada X. Himpunan X yang diperlengkapi dengan suatu metrik d dituliskan dngan (X,d) atau singkat ditulis dengan X saja disebut ruang metrik ( metric space ). Anggota ruang metrik disebut titik ( point ) dan bilangan d(x,y) disebut jarak antara titik x dan titik y. Mudah difahami bahwa jika (X,d) ruang metrik dan Y ⊂ X, maka (Y,d) juga ru- ang metrik yang disebut ruang-bagian. Contoh 1.1 1. R merupakan ruang metrik terhadap metrik d(x,y) = |x – y| untuk setiap x, y 𝜖 R. 1 2. Rn merupakan ruang metrik terhadap metrik: (a) 𝑑∞ (𝑥̅ ,𝑦̅) = maks{ |xk – yk| : 1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 } , (b) dp(𝑥̅ ,𝑦̅) = {∑𝑛𝑘=1 |𝑥k – yk|p}1/p ( 1≤ p < ∞ ) untuk setiap 𝑥̅ = (x1 ,x2 , . . . ,xn), 𝑦̅ = (y1 ,y2 , . . . . ,yn) 𝜖 Rn. 3. C(a,b), koleksi semua fungsi kontinu bernilai real pada [a,b] merupakan 𝑏 ruang metrik terhadap metric : (a) d(f,g) = ∫𝑎 |f(x) – g(x)|dx, (b) 𝑑∞ (f,g) = sup{ |(x) – g(x)| : x 𝜖 [a,b] } untuk setiap f, g 𝜖 C(a,b). Konsep dasar hubungan titik dengan himpunan di dalam suatu ruang metrik adalah pengertian persekitaran. Definisi 1.1.2 : Jika (X,d) suatu ruang metrik dan x 𝜖 X, maka yang disebut persekitaran titik x dengan jari-jari 𝜹 > 0 adalah himpunan 𝑵𝜹 (x) = { y 𝝐 X : d(x,y) < 𝜹 }. Selanjutnya, jika A ⊂ X, maka (i) x disebut titik-dalam ( interior point ) himpunan A jika ada 𝛿 > 0 se- hingga 𝑵𝜹 (x) ⊂ A. (ii) x disebut titik-luar ( exterior point ) himpunan A jika x titik-dalam himpunan Ac. (iii) x disebut titik-limit ( limit point ) himpunan A jika untuk setiap 𝑁𝛿 (x) benar bahwa \ 𝑵𝜹 (x) ∩ A – { x } ≠ ∅. (iv) x disebut titik-batas ( boundary point ) himpunan A jika untuk setiap

Recently converted files (publicly available):