• Document: Poisson Dağılımı Özellikleri ve Olasılıkların Hesaplanması
  • Size: 777.9 KB
  • Uploaded: 2019-06-12 19:10:53
  • Status: Successfully converted


Some snippets from your converted document:

Poisson Dağılımı Özellikleri ve Olasılıkların Hesaplanması Doç. Dr. Ertuğrul ÇOLAK Eskişehir Osmangazi Üniversitesi Tıp Fakültesi Biyoistatistik Anabilim Dalı Poisson Dağılımı Poisson dağılımı kesikli dağılımlar içinde Binom dağılımından sonra yaygın olarak kullanılan bir dağılımdır. Az gözlenen olaylarla ilgili bir dağılımdır. Poisson Dağılımı Örnek 1: Tifo hastalığından belirlenen bir zaman aralığında, örneğin 1 yıllık bir zaman aralığı içinde olsun, hayatını kaybedenlerin sayısını düşünelim. Günümüzde tifodan hayatını kaybetmek az rastlanan bir durumdur. Yani az gözlenen bir olaydır. Poisson Dağılımı Bu örnekte zaman aralığını bir gün olacak şekilde düşünürsek, bir günlük bir zaman aralığında tifodan yeni bir ölümün gerçekleşme olasılığı oldukça küçük olacaktır. Poisson Dağılımı Bu durumda farklı iki zamanda meydana gelen tifodan ölüm olayları bağımsız olacağından, bir yıllık zaman aralığında rapor edilen tifodan ölümlerin sayısı Poisson dağılımı gösterir. Poisson Dağılımı Örnek 1, belirlenen bir zaman aralığında meydana gelen ve az gözlenen bir olaya ait bir örnekti. Poisson dağılımda bazı durumlarda zaman aralığı yerine belli bir yüzeye ait alan da kullanılmaktadır. Poisson Dağılımı Örnek 2: Bir AGAR PLATE’te (Petri Kabı) gelişen bakteri kolonilerinin sayısını düşünelim. Agar su yosunlarından elde edilen bir tür jelatindir. Kelime olarak Malayca "jel" anlamına gelen "agar-agar" kelimesinden gelmektedir. Agar tıp alanında mikrobiyolojik testlerde kullanılmaktadır. Poisson Dağılımı Poisson Dağılımı Örnek 2: Örneğin 100 cm2 alana sahip bir agar plate üzerinde küçük bir alanda bakteri kolonisi gelişmesi başka bir alanda gelişen bakteri kolonisinden bağımsız olacaktır. Poisson Dağılımı Alan küçüldükçe o alanda bakteri kolonisi gelişme olasılığı da azalacaktır. Sonuçta tüm alan üzerinde gelişen bakteri koloni sayısı Poisson dağılımı gösterir. Poisson Dağılımı Örnek 1’de belirtilen durumu tekrar inceleyelim. Tanımlanan zaman dilimini t ile gösterelim (t= 1 yıl ya da t=20 yıl olabilir). Bu zaman diliminin daha küçük zaman aralıklarını ∆t ile gösterelim. Bu durumda 3 varsayım karşımıza çıkmaktadır. Poisson Dağılımı Varsayım 1. Ölüm gözlenme olasılığı zaman aralığının uzunluğu ile oransaldır. Başka bir anlatımla zaman aralığı arttıkça ölüm meydana gelme olasılığı artmaktadır. Poisson Dağılımı P(Tifodan 1 ölüm meydana gelmesi) ≈ λ∆t Burada λ tanımlanan zaman aralığı t’de beklenen olay sayısıdır. Poisson Dağılımı Varsayım 2. ∆t zaman diliminde 0 ölüm gözlenme olasılığı yaklaşık olarak 1-λ∆t’ ye eşittir. P(Tifodan 0 ölüm meydana gelmesi) ≈ 1-λ∆t Poisson Dağılımı Varsayım 3. ∆t zaman diliminde 1 ölümden daha fazla ölüm gözlenme olasılığı yaklaşık olarak 0’a eşittir. P(Tifodan 1 ölümden fazla ölüm meydana gelmesi) ≈ 0 Poisson Dağılımı Bu tanımlamalar ve varsayımlar altında Poisson dağılımı aşağıdaki eşitlikteki gibi elde edilir.  e  x P( x)  x! Poisson Dağılımı  e  x P( x)  x! Bu eşitlikte; µ: İncelenen bir olayın belirlenen zaman aralığındaki beklenen gözlenme sayısıdır ve µ =λt, x=0, 1, 2,… olmak üzere gözlenen olay sayısıdır, e=2.71828’dir. Poisson Dağılımı Poisson dağılımı tek bir parametreye bağlıdır µ=λt. Burada λ, tanımlanan t zaman diliminde beklenen olay sayısıdır. Ancak µ ise belirlenen bir zaman aralığındaki beklenen olay sayısıdır. Burada belirlenen zaman dilimi, tanımlanan t zaman diliminden küçük, eşit ya da büyük olabilir. Poisson Dağılımı Tekrar Örnek 1’e dönelim. Tanımlanan zaman aralığı t=1 yıl olsun. Bir yıllık zaman aralığı için beklenen ölüm sayısı 4.6 olsun. Bu durumda λ=4.6 olmaktadır. 3 ve 6 aylık zaman aralıkları için Poisson dağlımı olasılık fonksiyonu nedir? Poisson Dağılımı 3 aylık zaman aralığı için t=0.25 yıl olarak belirlenir. Çünkü 3 aylık zaman aralığı tanımlanan t=1 yıl olan zaman aralığının dörtte biridir. Bu durumda belirlenen 3 aylık zaman dilimi için beklenen olay sayısı µ =λt eşitliğinden yararlanarak µ =(4.6)(0.25)=1.15 olarak elde edilir. Poisson Dağılımı 3 aylık zaman aralığı Poisson dağılımı olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibi elde edilir. 1.15 x e (1.15) P( x)  x! Poisson Dağılımı 6 ay

Recently converted files (publicly available):