• Document: APLICACIONES DE LA DERIVADA
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CAPÍTULO VI. APLICACIONES DE LA DERIVADA SECCIONES A. Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mı́nimos locales. B. Concavidad. Puntos de inflexión. C. Representación gráfica de funciones. D. Problemas de máximos y mı́nimos. E. Teoremas del valor medio. Regla de L’Höpital. F. Ejercicios propuestos. 205 A. CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO. MÁXIMOS Y MÍNI- MOS LOCALES. Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función y = f (x) se obtienen a partir de la primera derivada de la función por la siguiente re- gla: (a) f crece en un intervalo (a, b) si f 0 (x) > 0 para todo x en (a, b). (b) f decrece en un intervalo (a, b) si f 0 (x) < 0 para todo x en (a, b). Los puntos extremos de intervalos en donde cambia el signo de la derivada son los máximos o mı́nimos, según la derivada cambie de positiva a negativa o de negativa a positiva, respectivamente. En resumen: (a) Un punto x0 del dominio de la función corresponde a un máximo local o relativo si existe un intervalo (x0 − δ, x0 ) en donde f crece y otro intervalo (x0 , x0 + δ) en donde f decrece. (b) Un punto x0 del dominio de la función corresponde a un mı́nimo local o relativo si existe un intervalo (x0 − δ, x0 ) en donde f decrece y otro intervalo (x0 , x0 + δ) en donde f crece. Los máximos y mı́nimos locales se encuentran entre los llamados puntos singulares o crı́ticos, es decir, puntos del dominio de la función en donde la derivada se anula o no existe. PROBLEMA 6.1. Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función √ f (x) = x( x + 1). Solución Calculamos la derivada de la función: √ √ 0 √ x 2x + 2 x + x 3x + 2 x f (x) = x + 1 + √ = √ = √ . 2 x 2 x 2 x √ √ La derivada se anula cuando 3x + 2 x = 0 y no existe cuando 2 x = 0. Despejamos x en ambas ecuaciones: √ √ 4 3x + 2 x = 0 =⇒ 3x = −2 x =⇒ 9x2 = 4x =⇒ x = 0 ó x = . 9 206 Como el valor x = 4/9 no verifica la primera ecuación, el único valor que anula f 0 (x) es x = 0. Por otra parte, √ 2 x = 0 ⇐⇒ x = 0. El único punto crı́tico es x = 0. Como el dominio de la función es el intervalo [0, ∞) y f 0 (x) ≥ 0 en todo el dominio, la función es siempre creciente. Por tanto, el punto (0, 0) es el mı́nimo de la función. PROBLEMA 6.2. Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función x3 + 4 f (x) = . x2 Solución De nuevo calculamos la derivada: 3x2 · x2 − (x3 + 4) · 2x x4 − 8x x3 − 8 f 0 (x) = 4 = 4 = . x x x3 La derivada se anula cuando x3 − 8 = 0 y no existe cuando x3 = 0. Despe- jaremos x en ambas ecuaciones: x3 − 8 = 0 ⇐⇒ x3 = 8 ⇐⇒ x = 2. x3 = 0 ⇐⇒ x = 0. Como el dominio de la función es R \ {0}, el único punto crı́tico es x = 2. Estudiamos el crecimiento en los intervalos (−∞, 0), (0, 2) y (2, ∞). Para ello, sustituimos la derivada de la función en cualquier punto interior a los intervalos. El signo de la derivada indicará si la función original crece o decrece. Ası́: f 0 (−1) = −9/ − 1 > 0 =⇒ la función crece en (−∞, 0). f 0 (1) = −7/1 < 0 =⇒ la función decrece en (0, 2). f 0 (3) = 19/27 > 0 =⇒ la función crece en (2, ∞). Un método más cómodo por su claridad visual consiste en representar el dominio de la función sobre la recta real. A continuación, colocar en la misma recta los puntos crı́ticos. De esta manera quedan ya delimitados los intervalos que se van a estudiar. Después de sustituir en la derivada de la 207 función algún punto intermedio de cada intervalo, colocar el signo + ó − según si dicha derivada es positiva o negativa. Ası́ quedan completamente determinados los intervalos y el comportamiento de la función en cada uno de ellos. En este ejemplo hubiera quedado ası́: (−∞, 0) (0, 2) (2, ∞) f 0 (x) ++ –– ++ PROBLEMA 6.3. Encontrar los máximos y mı́nimos locales de la función f (x) = x5 − 5x + 6. Solución

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