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TOPOLOGÍA ALGEBRAICA Curso 2007/2008 Prof. Marta Macho Stadler Marta Macho Stadler Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencia y Tecnologı́a Universidad del Paı́s Vasco–Euskal Herriko Unibertsitatea Barrio Sarriena s/n, 48940 Leioa e-mail: [email protected] http://www.ehu.es/ ˜mtwmastm Tlf: 946015352 Fax: 946012516 Portada: Cuttlas caminando por una banda de Möbius c CALPURNIO, http://www.calpurnio.com Un especial agradecimiento al artista Calpurnio, por permitirme usar una de sus viñetas (una muy topológica) en la portada. Índice general Introducción III 0.1. ¿Por qué la Topologı́a Algebraica? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III 0.2. Estructura del curso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 0.3. ¿Dónde se aplica la Topologı́a Algebraica? . . . . . . . . . . . . . . . . . V 0.3.1. Teorı́a de grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V 0.3.2. La teorı́a de nudos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII 0.3.3. Otras aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX 1. Preliminares 1 1.1. Categorı́as y functores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Conexión por caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3. Algunas nociones sobre grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.1. Grupo (no abeliano) libre con dos generadores . . . . . . . . . . 6 1.3.2. Grupo libre sobre un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.3. Producto libre de dos grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.4. Producto amalgamado de dos grupos . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.5. Presentaciones de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4. Clasificación de superficies compactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.1. Definición de superficie y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4.2. Regiones poligonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.3. Suma conexa de superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.6. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2. Homotopı́a de aplicaciones 27 2.1. Homotopı́a de aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2. La categorı́a de espacios topológicos y homotopı́as . . . . . . . . . . . . 29 3 4 Índice general 2.3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3. El grupo fundamental 37 3.1. Homotopı́a de caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2. El grupo fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3. Grupo fundamental de la esfera de dimensión 1 . . . . . . . . . . . . . . 41 3.4. Teorema de Seifert–Van Kampen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.5. Grupos de homotopı́a superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.7. Problemas adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51